江西省抚州市金溪县第一中学2018-2019学年高二12月月考数学(文)试卷

发布时间:2021-10-16 02:59:50















封 座位号

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姓名

准考证号

考场号

2018-2019 学年江西省抚州市金溪县第一中学
高二 12 月月考数学(文)试题
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 8 页,23 题(含选考题)。 全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1、考试范围:高考范围。 2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的 相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后 的方框涂黑。 3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 4、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案用 0.5 毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题 区域的答案一律无效。 6、保持卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 7、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题 1.条件 p: 值范围是 A. 2.不等式

,条件 q:

,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取

B.

C.

D.

成立的一个必要不充分条件是

A.

B. 或

C.

D.



3.给出下列命题:

①命题“若 b2 ? 4ac ? 0 ,则方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )无实根”的否命题;

②命题“在 ABC 中, AB ? BC ? CA,那么 ABC 为等边三角形”的逆命题;

③命题“若 a ? b ? 0 ,则 3 a>3 b>0 ”的逆否命题;

④“若 m ? 1,则 mx2 ? 2?m ?1? x ? ?m ? 3? ? 0 的解集为 R ”的逆命题.

其中真命题的序号为 A.①②③ B.①②④

C.②④

D.①②③④

4.若曲线

表示椭圆,则 的取值范围是

A.

B.

C.

D.



5.方程

表示双曲线的一个充分不必要条件是

A.-3<m<0 C.-3<m<4

B.-3<m<2 D.-1<m<3

6.已知双曲线 C:

(a>0,b>0)的一条渐*线方程为 y= x,且与椭圆



公共焦点,则 C 的方程为

A.

B.

C.

D.

7.设 , 是椭圆

的左、右焦点,过 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若

最大

值为 5,则椭圆的离心率为

A. B.

C. -

D.

8.已知点 在抛物线

上,则当点 到点

取得最小值时,点 的坐标为

的距离与点 到抛物线焦点距离之和

A.

B.

C.

D.

9.已知椭圆的焦点是 , ,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 到 Q,使得



那么动点 Q 的轨迹是

A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆

10.斜率为 2 的直线 l 过双曲线

的右焦点,且与双曲线的左右两支分别

相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

11.设

F1



F2 是双曲线

x2 4

?

y2

? 1的两个焦点,点

P

在双曲线上,且

PF1

? PF2

?

0 ,则

PF1 ? PF2 的值等于

A.2 B. 2 2 C.4 D.8

12.(2017 新课标全国卷Ⅰ文科)设 A,B 是椭圆 C:

在点 M 满足

∠AMB=120°,则 m 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

长轴的两个端点,若 C 上存

二、填空题

13.已知命题 p:



14.已知动圆 与圆

轨迹方程为_________________.

是真命题,则实数 a 的取值范围是______ .

外切,与圆

内切,则动圆圆心 的

15.点 P 是椭圆

上一点, , 分别是椭圆的左、右焦点,若

,则

的大小______ .

16.已知 是抛物线

的焦点, 是 上一点, 的延长线交 轴于点 .若 为 的

中点,则

____________.

三、解答题

17.已知命题 p:方程

有两个不相等的实数根;

命题 q:



若 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;

若 为真命题, 为假命题,求实数 m 的取值范围.

18.已知椭圆的中心在原点,焦点为

,且离心率



求椭圆的方程;

求以点

为中点的弦所在的直线方程.

19.*面直角坐标系 中,椭圆 C 的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴,一个焦点 F 的坐标

为 ,离心率为



求椭圆 C 的标准方程:

若直线 l 经过焦点 F,其倾斜角为 ,且交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 长

20.中心在原点的双曲线 的右焦点为 , ,渐*线方程为

.

(I)求双曲线 的方程;

(II)直线

与双曲线 交于 两点,试探究,是否存在以线段 为直径的圆过原

点.若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.

21.在*面直角坐标系 中,已知椭圆

的焦距为 ,离心率为 ,

椭圆的右顶点为 .

(1)求该椭圆的方程;

(2)过点

作直线 交椭圆于两个不同点

为定值.

,求证:直线

22.如图,已知椭圆

的离心率是 ,一个顶点是

的斜率之和 .

(Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设 , 是椭圆 上异于点 的任意两点,且

.试问:直线 是否恒过一定点?

若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.

2018-2019 学年江西省抚州市金溪县第一中学

高二 12 月月考数学(文)试题
数学 答 案

参考答案

1.A

【解析】

【分析】

由 是 的充分不必要条件,可得( , )是

解集的子集,分三种情况讨论 ,

分别利用一元二次不等式的解法求出

解集,综合三种情况可得结果.

【详解】

因为 是 的充分不必要条件,

所以( , )是

解集的子集,

时,由

,解得:





,所以 ;

时,不等式无解,不合题意;’

时,由

,解得





,不合题意;

综上可得 , 的取值范围是

,故选 A.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法,充分条件与必要条件的定义以及分类讨论思想的应用,

意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.

2.B

【解析】

【分析】

根据不等式

的解集为选项中集合的真子集,先利用一元二次不等式的解法解不

等式,然后逐一判断即可得结果.

【详解】

解不等式

可得



根据题意,该解集为选项中集合的真子集,

依次将选项代入验证可得, 不合题意;

不合题意;

或 不合题意;







的真子集,

即不等式

成立的一个必要不充分条件是 或 ,故选 B.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法,集*叵档呐卸霞坝τ煤捅匾跫⒊浞痔跫统湟

条件的判断,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于基础题.

3.A

【解析】①命题“若 b2 ? 4ac ? 0 ,则方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )无实根”的否命题是“若

b2 ? 4ac ? 0 ,则方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )有实根”,是正确的;②命题“ ABC 中, AB ? BC ? CA,那么 ABC 为等边三角形”的逆命题是“ ABC 是等边三角形,则 AB ? BC ? CA”, 是正确的;③命题“若 a ? b ? 0 ,则 3 a>3 b>0 >0”是正确的,∴它的逆否命题也是正确的;④命
题“若 m ? 1,则 mx2 ? 2?m ?1? x ? ?m ? 3? ? 0 的解集为 R ”的逆命题是“若

mx2 ? 2?m ?1? x ? ?m ? 3? ? 0 的解集为 R ,则 m ? 1,∵不等式的解集为 R 时,∴
m?0
{4?m ?1?2 ? 4m ?m ? 3? ? 0 的解集为 m ? 1,∴逆命题是错误的;∴正确命题有①②③;故选 A.
4.D 【解析】 【分析】

根据椭圆标准方程可得

,解不等式组可得结果.

【详解】 曲线

表示椭圆,



解得

,且 ,

的取值范围是



,故选 D.

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于

简单题.

5.A 【解析】 由题意知, 意,故选 A. 6.B 【解析】 【分析】

,则 C,D 均不正确,而 B 为充要条件,不合题

求出

的焦点坐标可得 ,根据双曲线的一条渐*线方程为

,可得



结合性质 【详解】

解得 ,

,从而可得结果.

椭圆

的焦点坐标



则双曲线的焦点坐标为

,可得 ,

双曲线

的一条渐*线方程为



可得

,即

,可得 ,解得 ,



所求的双曲线方程为:

,故选 B.

【点睛】

本题考查椭圆与双曲线的方程,以及简单性质的应用,属于中档题.求解与双曲线性质有关的 问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、 虚轴、渐*线、离心率等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.
7.A 【解析】 【分析】

利用椭圆定义得 直于 轴时 的最小值为 ,从而可得 椭圆的离心率.

,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当 垂 ,求得 b 的值,根据椭圆的离心率公式即可求得

【详解】

过 的直线 交椭圆于 两点,





当 垂直 轴时

. 最小,

值最大,

此时 解得

,则 ,可得

, ,

则椭圆的离心率

,故选 A.

【点睛】 本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也 是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出 ,从而求出 ;②构造 的齐次式,求出 ; ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解. 8.D 【解析】

因为点 到抛物线焦点距离等于点 到抛物线的准线

的距离,所以 到点

的距离与

点 到抛物线焦点距离之和取得最小等价于 到点

的距离与点 到抛物线准线距离之和取得最

小,如图,由几何性质可得,从

向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将 代入

,可得 ,点 到点

的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 的坐标

为 ,故选 D.

【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值,

属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)

将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;(2)

将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”

原理解决.本题是将 到焦点的距离转化为到准线的距离,再根据几何意义解题的.

9.D

【解析】

【分析】

由椭圆定义可得

,又

,可得

,再由圆

的定义得到结论.

【详解】









动点 到定点 的距离等于定长 ,

动点 的轨迹是圆,故选 D.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义与圆的定义的应用,考查学生分析转化问题的能力以及数形结合思想

的应用,属于基础题.

10.D

【解析】

【分析】

利用数形结合,根据已知直线的斜率,求出渐*线的斜率范围,推出 的关系,然后求出离心

率的范围.

【详解】

双曲线的一条渐*线的斜率为 , 结合图形分析可知, 若 小于或等于 2, 则直线与双曲线的一支相交或没有交点,不合题意; 所以 必大于 2,即 ,

解得双曲线的离心率

,故选 D.

【点睛】

本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围,属于中档题.求离心率范围问题,

应先将 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式,从而求出 的取

值范围.

11.A 【解析】由已知及双曲线定义可知,

,即

,所以

(*),又

,可知

,则

12.A
【解析】当 ,即

,代入(*)式,得

.

时,焦点在 轴上,要使 C 上存在点 M 满足

,则

,得

;当 时,焦点在 轴上,要使 C 上存在点

M 满足

,则

,即

,得 ,故 的取值范围为

,选 A.

点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题.解答问题的关

键是利用条件确定 的关系,求解时充分借助题设条件

转化为

,这是简化本题求解过程的一个重要措施,同时本题需要对方程中的

焦点位置进行逐一讨论.

13.

【解析】

【分析】

根据判别式大于或等于零,解不等式即可得结果.

【详解】

若命题



是真命题,

二次函数

的图象与 轴有交点,

方程

有根,

则判别式



即 ,故答案为



【点睛】

本题主要考查特称命题的应用,以及一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系,考查

了转化与划归思想的应用,属于简单题.

14.

【解析】 【分析】

根据圆与圆外切与内切的性质可得



, 相减可得

, 可得点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支,结合双曲线

的定义即可解决问题.

【详解】

由圆

,圆心

,半径为 ,



,圆心

,半径为 ,

设动圆心 的坐标为 ,半径为 ,









由双曲线的定义知,点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支,





,,



双曲线的方程为

,故答案为



【点睛】

本题主要考查双曲线的定义与方程,属于中档题. 关于双曲线定义的理解有以下几种情况:

(1)

,

,表示双曲线;

(2)

,

,表示两条射线;

(3)



,表示双曲线的一支;

(4)



,表示一条射线.

15.

【解析】

【分析】



,利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件,可得

,解得

,从而可得结果.

【详解】

椭圆



可得

,设





可得



化简可得:



,故答案为 .

【点睛】 本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:

(1)

;(2)

,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,

在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住

等特殊角的三角函数值,以便在解

题中直接应用. 16.6 【解析】

抛物线

的焦点

设 ,,

为 的中点,

,,



在抛物线 ,即

上, ,

点睛:分析题意,回想抛物线的简单性质,求出 的坐标是解题的关键。先根据抛物线的性质

得到 的坐标,设 , ,根据中点坐标公式表示出 的坐标,将 代入抛物线解析式求出 的值,

确定点 坐标,最后根据两点距离公式计算即可。

17.(1)

;(2)

【解析】

试题分析:(1)若 为真命题,则应有

,解得实数 的取值范围;(2)若 为真命

题, 为假命题,则 , 应一真一假,进而实数 的取值范围.

试题解析:(1)若 为真命题,则应有

,解得



(2)若 为真命题,则有

,即

,因为 为真命题, 为假命题,则 , 应一真

一假,①当 真 假时,有

,得

;②当 假 真时,有

,无解,综上, 的取

值范围是 , ).

18.(1)

;(2)

.

【解析】 【分析】

(1)焦点为

,求得

,根据离心率

,求得 ,可得 ,从

而可得结果;(2)设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减,利用*方差公式分解因式;转 化为斜率与中点坐标的关系式,可求出弦所在直线斜率,利用点斜式可得结果.
【详解】

设椭圆方程为

由已知

,又



,解得

,所以



故所求方程为



由题知直线的斜率存在且不为 ,

设直线与椭圆相交

代入椭圆方程得

作差得

,即



所以直线方程的斜率



故直线方程是





【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程和利用点差法求中点弦问题,利用设而不求得到斜率,从而求出直 线方程. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于 的方程组,解出 ,从 而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题 常常用“点差法”解决,往往会更简单.

19.(1)

;(2) .

【解析】 【分析】

一个焦点 F 的坐标为 ,可得 ,由离心率为

可得

,利用



,从而可得结果;(2)利用点斜式可得直线 方程为

,与椭圆方程



,求出

【详解】

,利用两点间距离公式可得结果.

设椭圆标准方程为 ,其中

又 由 解得
椭圆 C 的标准方程为:

根据直线过焦点 F,其倾斜角为 ,

可得直线 方程为



与椭圆 C 方程

联立,得



解得

可 联立,



【点睛】 本题考查待定系数法求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,属中档题.用待定系数法求 椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 轴上,还是在 轴上,还是两个坐标

轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程



;③

找关系:根据已知条件,建立关于 、 、 的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即

为所求.

20.(1)

(2) 存在,

【解析】

试题分析:(Ⅰ)设双曲线的方程为

,(a>0,b>0),则有 c= ,

解得即可;

(Ⅱ)由

得(2-k2)x2+2kx-2=0,根据韦达定理和向量的数量积

,c2=a2+b2,

得出关于 k 的方程,即可求出 k 的值. 试题解析:

(Ⅰ)设双曲线的方程为

,则有



,所以双曲线方程为



(Ⅱ)由





依题意有

解得



,①













依题意有

,所以







所以

,化简得 ,

符合①,所以存在这样的圆.

21.(1)

(2)直线 AP,AQ 的斜率之和为定值 1.

【解析】试题分析:(1)由题意可知

, ,离心率 ,求得

,则



即可求得椭圆的方程;(2)则直线 的方程:

,代入椭圆方程,由韦达定理及

直线的斜率公式,分别求得直线 , 的斜率,即可证明直线 , 的率之和为定值.

试题解析:(1)由题 ,

,所以



.

所以椭圆 C 的方程为

(2)当直线 PQ 的斜率不存在时,不合题意;

当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为

代入

,得





,则:







, ,

所以







=1.

所以直线 AP,AQ 的斜率之和为定值 1.

22.(Ⅰ)

(Ⅱ)直线 恒过定点

【解析】 试题分析:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c.求出 b 利用离心率求出 a,即可求解椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)证法一:直线 PQ 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m.将直线 PQ 的方程代入

消去

y,设 P

,Q

,利用韦达定理,通过 BP⊥BQ,化简求出

,求出 m,

即可得到直线 PQ 恒过的定点.证法二:直线 BP,BQ 的斜率均存在,设直线 BP 的方程为 y=kx+1,

将直线 BP 的方程代入

,消去 y,解得 x,设 P

,转化求出 P 的坐标,求出 Q 坐标,

求出直线 PQ 的方程利用直线系方程求出定点坐标 试题解析:(Ⅰ)解:设椭圆 的半焦距为 .依题意,得 ,





解得



所以,椭圆 的方程是



(Ⅱ)证法一:易知,直线 的斜率存在,设其方程为



将直线 的方程代入



消去 ,整理得









则 因为

, ,且直线

.(1) 的斜率均存在,

所以

, 整理得

.(2)

因为





所以



将(3)代入(2),整理得

将(1)代入(4),整理得

解得

,或

(舍去).

.(4) .

.(3)

所以,直线 恒过定点



证法二:直线

的斜率均存在,设直线 的方程为



将直线 的方程代入

,消去 ,得

解得 ,或





,所以





所以



以 替换点 坐标中的 ,可得



从而,直线 的方程是



依题意,若直线 过定点,则定点必定在 轴上.

在上述方程中,令 ,解得



所以,直线 恒过定点



考点:圆锥曲线的定值问题;椭圆的标准方程


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